Una función
cuadrática es toda función que pueda escribirse de la forma f(x)
= a x2 + b x + c, donde a, b y c son
números cualesquiera, con la condición de que a sea distinto
de 0 .
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Las funciones f(x) = x2 + 6x, g(x) = x2 + 16 y
G(x) = - 100 x2 + 2500 x + 15000
G(x) = - 100 x2 + 2500 x + 15000
Son ejemplos de
funciones cuadráticas.
Gráfica de las funciones cuadráticas
La función cuadrática más sencilla es f(x) = x2 cuya gráfica es:
x
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-3
|
-2
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-1
|
-0'5
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0
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0'5
|
1
|
2
|
3
|
f(x) = x2
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9
|
4
|
1
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0'25
|
0
|
0'25
|
1
|
4
|
9
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Funciones cuadráticas más complejas se dibujan de la misma forma.
Esta curva simétrica se llama parábola.
Dibujemos la gráfica de f(x) = x2
-2 x - 3.
x
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-1
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0
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1
|
2
|
3
|
4
|
f(x)
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0
|
-3
|
-4
|
-3
|
0
|
5
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Completando la gráfica obtengo:
Actividades resueltas
Dada la parábola y = x2
- 4 x + 3, determina con precisión las coordenadas de los puntos de la figura:
a. Del punto A(x,y) conocemos que x = 3'5. Como A es un
punto de la parábola, sus coordenadas cumplirán la ecuación, es decir,
y = 3'5 2 - 4·3'5 + 3 = 1'25. Por tanto, A = (3'5,1'25).
y = 3'5 2 - 4·3'5 + 3 = 1'25. Por tanto, A = (3'5,1'25).
b. Del punto B(x,y) conocemos que x = 7. Como B no pertenece
a la parábola, no disponemos de ninguna relación que nos permita deducir y en
función de x: no es posible conocer con precisión las coordenadas de B.
c. El punto C(x,y) está situado sobre el eje de ordenadas,
luego x = 0. Como también es un punto de la parábola, verificará y = 02 - 4·0 + 3 = 3 .
Luego C = (0,3).
Luego C = (0,3).
de la parábola:
, que nos proporciona
las soluciones aproximadas x = -0'45 y x = 4'45 . Observando la
gráfica se concluye que el valor adecuado es el segundo (¿por qué?).
Luego D = (4'45,5).
Luego D = (4'45,5).
e. Los puntos E y F pertenecen al eje OX . Sus coordenadas
serán de la forma (x,0) y por
ser de la parábola verificarán la ecuación de 2º grado x2 - 4x + 3 = 0 ,
cuyas soluciones son x = 1 y x = 3.
Por tanto, los puntos serán E = (1,0) y F = (3,0).
ser de la parábola verificarán la ecuación de 2º grado x2 - 4x + 3 = 0 ,
cuyas soluciones son x = 1 y x = 3.
Por tanto, los puntos serán E = (1,0) y F = (3,0).
f. Por la forma simétrica de la parábola, la abscisa de
G = (x,y) es el punto medio del segmento , es decir, .
Sustituyendo este valor en la ecuación de la parábola, obtenemos su segunda coordenada
y = 22 - 4·2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1. Luego G = (2,-1).
g. Calculemos las coordenadas del punto H´(x,y) de la
parábola que está
"justo encima" de H.
"justo encima" de H.
Como x = 5, entonces y = 52 - 4·5 + 3 = 25 -
20 + 3 = 8 ,
es decir, H´= (5,8).
H tiene igual abscisa 5 y su ordenada es 6 unidades menos que H´, por tanto,
H = (5,2).
es decir, H´= (5,8).
H tiene igual abscisa 5 y su ordenada es 6 unidades menos que H´, por tanto,
H = (5,2).
h. Calculamos las coordenadas del punto I´(x,7) que está
en la parábola "justo a la derecha" de I. Como pertenece a la parábola ,
en la parábola "justo a la derecha" de I. Como pertenece a la parábola ,
cuyas soluciones aproximadas son x = -0'88 y x = 4'83. I tiene la misma
ordenada 7 y
su abscisa es 4'2 unidades menos que la abscisa de I´, es decir,
I = (0'63,7).
su abscisa es 4'2 unidades menos que la abscisa de I´, es decir,
I = (0'63,7).
Determina, por este orden, las coordenadas de los puntos A, B, el
vértice V y el punto C
de la parábola
de la parábola
y = x2 - x + 1 .
a. A está situado en el eje Y, es decir sus coordenadas son de la forma A(0,y). Puesto que A pertenece a la parábola, y = 02- 0 + 1, y = 1. Luego A = (0,1).
b. B ha de ser de la forma (x,1), por tanto, 1 = x2 - x + 1; 0 = x2- x,
0 = x · (x - 1) de soluciones x = 0 y x = 1. Luego B = (1,1).
0 = x · (x - 1) de soluciones x = 0 y x = 1. Luego B = (1,1).
c. La 1ª coordenada del vértice está situada en el punto
medio del segmento
de extremos 0 y 1, es decir,
La 2ª coordenada se obtiene con la ecuación y = (0'5)2- 0'5 + 1 = 0'75.
Las coordenadas del vértice serán V = (0'5,0'75)
de extremos 0 y 1, es decir,
La 2ª coordenada se obtiene con la ecuación y = (0'5)2- 0'5 + 1 = 0'75.
Las coordenadas del vértice serán V = (0'5,0'75)
d. Utilizando la simetría de la parábola puedo calcular la
1ª coordenada de C,
x = 2. Por lo tanto, y = 22-2+1=3. C = (2,3).
x = 2. Por lo tanto, y = 22-2+1=3. C = (2,3).
Este método se puede generalizar a cualquier parábola de ecuación
y = ax2 + bx + c y nos permitirá hallar el vértice de forma inmediata.
y = ax2 + bx + c y nos permitirá hallar el vértice de forma inmediata.
Sea la parábola y = ax2 + bx + c
Igualando:
a x2 + b x + c = c → a
x2 + b x = 0 → x (a x + b) = 0; es decir,
x = 0 ó ax + b = 0 que nos lleva a la solución x = -b/a.
x = 0 ó ax + b = 0 que nos lleva a la solución x = -b/a.
La
primer coordenada del vértice coincide con el punto medio del segmento de
extremos 0 y - b/a, es decir, p = - b/2a
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Ejemplo
Actividad
Dada la parábola y =- x2 + 2 x + 3 , determina la coordenadas de los puntos indicados.
Cortes con los ejes
Los puntos de corte con el eje X son de la forma (x,0). Sustituyendo y
por 0
en la fórmula obtenemos la ecuación de 2º grado - x2 + 2x + 3 = 0,
cuyas soluciones son x = -1, y x = 3.
en la fórmula obtenemos la ecuación de 2º grado - x2 + 2x + 3 = 0,
cuyas soluciones son x = -1, y x = 3.
Los puntos de corte son (-1,0), (3,0).
El punto de corte con el eje Y se obtiene
haciendo x = 0 en la ecuación de la parábola. Por tanto, será (0,3).
b. y = x2 - 4x + 4
Puntos de corte con el eje X:
Resolviendo la ecuación x2 - 4x + 4 = 0, se
obtiene como única solución x = 2, que nos proporciona un solo punto de corte
con el eje X :(2,0).
Punto de corte con el eje Y: (0,4).
Puntos de corte con el eje X:
Si resolvemos la ecuación x2 - 2x + 3 = 0 obtenemos que
No existe solución y, por lo tanto, no tiene cortes con el eje X.
Punto de corte con el eje Y: (0,3)
Actividades
Determina los cortes con los ejes de las parábolas siguientes:
a. y = 2x2 -14x + 24
b. y = 5x2 - 10x + 5
c. y = 6x2 + 12 d. y = 3(x - 2)(x + 5)
e. y = 3(x - 2)2 f. y = 3(x2 + 4)
c. y = 6x2 + 12 d. y = 3(x - 2)(x + 5)
e. y = 3(x - 2)2 f. y = 3(x2 + 4)
Determina la ecuación de una parábola cuyos cortes con el eje X sean
los puntos (1,0) y (3,0).
los puntos (1,0) y (3,0).
Determina la ecuación de la parábola cuyos cortes con el eje X sean
los puntos (-2,0) y (3,0) y con el eje Y sea (0,4).
los puntos (-2,0) y (3,0) y con el eje Y sea (0,4).
Determina la ecuación de una parábola que corte al eje X en el punto
(2,0)
y al eje Y en (0,6).
y al eje Y en (0,6).
Influencia de los parámetros en la gráfica de las funciones cuadráticas
Las
parábolas de ecuación y = ax2 tienen por vértice
el punto V(0,0).
Cuanto
mayor sea a (en valor absoluto), más cerrada será la
parábola.
Las
ramas van hacia arriba si a > 0 o hacia abajo si a
< 0.
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Un resultado importante
La forma de una parábola depende única y exclusivamente del coeficiente a de x2, es decir, cualquier parábola del tipo y = ax2 + bx + c tiene la misma forma que la parábola y = ax2.
Por ejemplo:
La parábola y = 2x2-16x + 35 tiene la misma forma que y = 2x2; encajan
perfectamente una encima de la otra como puedes comprobar si dibujas las dos
parábolas.
Al someter la
parábola y = 2x2-16x + 35 a una traslación de vector (4,3), que son las coordenadas de su vértice,
obtenemos la parábola y = 2x2.
Las
parábolas y = ax2 + bx + c tienen la
misma forma que las parábolas del tipo y = ax2.
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